浅谈初中数学中“非负数”的应用策略

在初中数学的教学过程中存在很多影响教学效果的问题，大部分教师将目光放在学生的学习成绩上，而忽略培养学生的数学能力，没有发挥数学教育对培养学生综合素质的重要作用。初中数学教材中“非负数”知识是在数轴、绝对值、二次根式、方程、方差等概念的教学中建立起来的，非负数的性质在解题中既非常重要又颇为实用。“非负数”的知识设计内容之广，时间之长是众所周知的。在教学中必须遵循学生的认知特征和数学学科特性，充分发挥学生学习的主观能动性，帮助学生积累总结解题规律，提高解决综合问题的能力，使学生在解题的过程中提高对“数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想，应用意识，创新意识”这十个核心概念的再认识再消化。在教学中教师要树立新的基础教育观、学生观、教学观、课程观、质量观，帮助学生学会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考世界，会用数学语言表达世界，切实落实数学育人的目标。现就初中数学中常见“非负数”的应用浅谈几点自己的看法，供大家参考。

所谓”非负数”，是指零和正数。“非负数”的性质在解题中颇有用处。常见的非负数有四种：有理数的偶数次幂、有理数的绝对值和非负实数的偶次方根，用二次根式表示的数。

一、 初中数学中常用的非负数

1. 任意一个实数的绝对值是非负数；我们知道一个正数的绝对值等于它本身；0的绝对值等于0；一个负数的绝对值等于它的相反数，也就是在这个数的前面加个“-”号。即：

2. 任意一个实数的偶次方是非负数，即：a2n≥0(n是整数)。

3. 任意一个非负数的算术平方根是非负数，即：

4. 一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立。

若二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，则b2-4ac≥0。

若b2-4ac≥0(a≠0)，则二次方程有两个实数根。

5. 数轴上，原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数。

6. 样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差，都是非负数。

7. 非负数的性质：

(1)非负数集合里，有一个最小值，它就是零。

(2)如果一个数和它的相反数都是非负数，则这个数就是零。

(3)有限个非负数的和或积仍是非负数。

(4)若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零。

二、 非负数的运用

(一)在方程中非负数的直接应用

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的条件是Δ=b2-4ac≥0，此时为一个非负数。

【例1】若关于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有实根，则k的取值范围是

且k≠0

且k≠0

分析：要确定k的取值范围，必须先要把方程整理成一元二次方程的一般形式ky2-7y-7=0，再利用一元二次方程有实根的非负数条件Δ=b2-4ac≥0去确定，故答案是B。

【例2】求证：方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根。

证明：把方程左边分组配方，得

(x4+2x2+1)+(x2+2x+1)+4=0

即(x2+1)2+(x+1)2=-4；

∵(x2+1)2>0，(x+1)2≥0，

∴(x2+1)2+(x+1)2>0。

但右边是-4。

∴不论x取什么实数值，等式都不能成立。

∴方程x4+3x2+2x+6=0没有实数根。

(二)在化简与计算题中的直接应用

【例3】a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简。

分析：要化简代数式，必须根据绝对值和算术平方根的非负性来解。根据数轴看出a<00，b-a>0，c-b<0，所以，原式=c-a-(b-a)+(c-b)=2(c-b)。

(三)在“0+0=0”模式中的应用

由于任何一个实数的绝对值和平方(偶次方)是非负数，一个非负数的算术平方根也是非负数，因此我把就定义为“0+0+0=0”的模式。

1. 在“0+0=0”模式中的直接应用

【例4】(1)已知求ab的值；

(2)|x+y-1|+(2x-y-5)2=0，求(x+y)2015的值；

(3)已知实数a，b，且(a+b-3)2与互为相反数，请你求出以a，b为根的一个一元二次方程。

分析：(1)欲求ab的值，必须先要求出a，b的值。因为故满足“0+0=0”模式，所以就有a+3=0，b-2=0，即a=-3，b=2，ab=(-3)2=9。

文章来源：《数学教育学报》 网址: http://www.sxjyxbzz.cn/qikandaodu/2021/0120/488.html